Рассеяние атомов разреженного газа
на выходе из достаточно длинной щели

Течения газа в сосудах относятся к внутренним задачам аэродинамики. Если газ разрежен, т.е. отношение средней длины свободного пробега атомов и молекул газа к характерному размеру тела (число Кнудсена $\textrm{Kn}$ ) отлично от нуля, то определяющую роль при описании этих течений начинают играть модели взаимодействия частиц газа с поверхностью сосуда. Среди этих моделей простейшей, учитывающей наблюдаемые коэффициенты обмена импульсами энергией, является лучевая модель [6], обобщающая известную со времен Исаака Ньютона зеркальную схему. Мы построили ее как пример использования моментов в главе 1 § 4. Фактически лучевая модель реализует нижнее главное представление в пространстве всех моделей отражения, имеющих данные коэффициенты обмена.

Так как в лучевой модели атом отражается от поверхности с вероятностью единица только в одном направлении, частицы газа, двигающиеся внутри сосуда без столкновения между собой (их долю как раз и определяет число Кнудсена), описывают траекторию, состоящую из отрезков прямых между столкновениями со стенками. Когда геометрия сосуда известна, между $x$ -характеристикой предыдущего $(n-1)$ -го и последующего $n$ -го столкновений можно установить явную функциональную зависимость: $x_n=f(x_{n-1})$ , -- а это наталкивает на мысль изучать предельное поведение атома в сосуде при $n\to \infty$ . Такого рода предельные переходы в итерационных схемах исследуются нелинейной динамикой с помощью понятия аттрактор, краткие сведения из которой мы привели в § 1.

Лучевая модель отражения определяется коэффициентами обмена$p(\alpha )$ и $\tau (\alpha )$ . Угол$\alpha$ есть не что иное, как угол между нормалью $\textbf{n}$ к поверхности в точке столкновения с ней частицы газа и ее скоростью $\textbf{u}$ до этого столкновени(угол падения). Чаще всего в качестве вышеупомянутой $x$ -характеристики выступает $\textrm{tg}\, \alpha '$ , где $\alpha '$ -- угол между$\textbf{n}$ и скоростью $\textbf{u}'$ частицы газа после ее столкновения со стенкой(угол отражения).

Отметим, что результаты этого параграфа предоставляют самый простой пример хаотизации (турбулизации) течения газа, причем вероятностные характеристики не вводятся априори, а получаются естественным путем в процессе развития детерминированного течения -- свободномолекулярного течения между двумя параллельными пластинками с детерминированным законом отражения атомов газаот стенок (согласно лучевой модели).  Это решает для свободномолекулярного течения в щели проблему турбулентности, именно, в той ее части, которая задается вопросом о происхождении стохастизации течения. 

$1^0.$ Постановка задачи. Частицы газа (атомы, молекулы) будем называть атомами. Ограничимся свободномолекулярным режимом, пренебрегая столкновениями атомов между собой. В этом случае, когда велико отношение средней длины свободного пробега атома к характерному размеру сосуда (т.е. велико число Кнудсена $\textrm{Kn}$ ), можно рассматривать блуждание только одного атома в сосуде. Чтобы рассчитать это течение, необходимо знать геометрию стенок и закон отражения атомов от них. В промежутках между столкновениями атом движется по прямолинейной траектории. Информация о геометрии стенок нужна нам лишь в такой мере, в какой она определяет связь угла падения $\theta_m$ при $m$ -м столкновении атома (со стенкой) с углом отражения $\theta_{m-1}^\prime$ при предыдущем столкновении: $\theta_m=g(\theta_{m-1}^\prime)$ , -- т.е. нужен явный вид функции $g$ . Кроме того, закон взаимодействия атома с поверхностью определяет связь угла отражения $\theta_m^\prime$ с углом падения $\theta_m$ при $m$ -м столкновении: $\theta_m^\prime = f(\theta_m)$ , -- что позволяет вывести рекуррентное соотношение

$$\theta_m^\prime=\psi (\theta_{m-1}^\prime),\quad m=1,2,\ldots$$ (1)

с очевидным определением $\psi (x)$ как суперпозиции функций $g(x)$ и$f(x)$ :

$$\psi (x)=f(g(x)).$$ (2)

В общем случае вид функции$f(x)$ сложен -- она является функцией распределения в вероятностном смысле. Ограничимся самой простой схемой взаимодействия на изотропной поверхности, обобщая зеркальную схему, а именно, лучевой, когда скорости падения $\textbf{u}$ и отражения $\textbf{u}^\prime$ атома лежат в одной плоскости с ортом нормали $\textbf{n}$ к поверхности сосуда в точке столкновения и после столкновения атом с вероятностью единица имеет единственнуюскорость $\textbf{u}^\prime$ . В упомянутой плоскости падающую и отраженную скорости достаточно характеризовать их абсолютными значениями $u,u^\prime$ и углами падения $\theta$ и отражения $\theta^\prime$ (см. рис. 1), отмечая нижним индексом номер соударения.

Для лучевой модели величины нормального и касательного импульса,переданного единичной площадке стенки в единицу времени (т.е. потоки импульса), отнесенные к $\rho u^2/2$ , выражаются формулами(см. главу 1, § 4):

$$p=2\cos\theta\,(\cos\theta+u^\prime\cos\theta^\prime)\,, \qquad \tau=2\cos\theta\,(\sin\theta-u^\prime\sin\theta^\prime)\,,$$ (3)

где $\rho$ -- плотность набегающего потока, $\cos\theta=-\textbf{nu}/u,\ \cos\theta^\prime=\textbf{nu}^\prime/u^\prime,$ а нормаль $\textbf{n}$ направлена внутрь газа.

Отметим, что из (3) однозначно определяются $u^\prime$ и $\theta^\prime$ , если известны коэффициенты обмена импульсом $p$ и $\tau$ , т.е. у любого закона рассеяния атома изотропной поверхностью существует лучевая версия. Исключая $u^\prime$ в (3), получаем (см. (1.8))

$$\textrm{tg}\,\theta^\prime=\varphi(\theta)\,,\quad \varphi(\theta)=(2\sin\theta\cos \theta-\tau)/(p-2\cos^2\theta)\,.$$ (4)

При положительных $\theta^\prime$ лучи падения и отражения лежат по разные стороны от нормали, при отрицательных -- по одну.

Коэффициенты обмена $p$ и $\tau$ в (4) суть функции угла падения $\theta$ :$p=p(\theta)$ , $\tau=\tau(\theta)$ . Поэтому для любого закона отражения уравнение (4) определяет угол отражения $\theta^\prime$ атома для лучевой версии по углу падения $\theta.$ Все дальнейшее относится к лучевой версии, причем следует ожидать, что практическая значимость результатов тем выше, чем ближе реальная функция рассеяния к вытянутому в одном направлении лепестку с малой дисперсией. 

Таким образом, при движении атома газа в каком-либо сосуде угол падения при $(m+1)$ -м столкновении с его стенками связан с углом падения при$m$ -м столкновении соотношениями $\theta_{m+1}=g(\theta_m^\prime),\enskip \textrm{tg}\,\theta_m^\prime=\varphi(\theta_m)$ , которые объединим в одно:

$$\theta_{m+1}=\psi(\theta _m)$$ (5)

с определением функции $\psi (x)$ по формуле (2).

Конкретизируем вид функций $p(\theta)$ и $\tau(\theta)$ . При практическихрасчетах аэродинамических коэффициентов тел, летящих в разреженном газе, на основе теории локального взаимодействия [7] применяется чаще всего трехпараметрическая аппроксимация для $p$ и $\tau$ . Она использует разложение $p$ и$\tau/\!\sin\theta$ на естественном носителе $0\leq \theta \leq \pi$ по чебышевской системе функций {$\cos^n\theta$ }, $n=1$ , 2,$\ldots$ , коэффициенты которого (коэффициенты режима) определяются обычно эмпирически (они суть функции параметров режима -- чисел Кнудсена, Маха, температурного фактора и т.п.). По терминологии [7] эта модель относится к классу слабых линейных моделей на естественном носителе.Ее вид [8]:

$$p=\lambda_0\cos^2\theta+\lambda_2\cos^4\theta,\quad \tau/\sin\theta=\mu_0\cos\theta+\lambda_2\cos^3\theta,$$ (6)

Коэффициентами режима являются $\lambda_0$ , $\lambda_2$ , $\mu_0$ . Зависимость коэффициентов режима от параметров режима см. в [7]. Мы считаем эти коэффициенты известными.

Обозначая $x'=\textrm{tg}\,\theta '$ , $x=\textrm{tg}\,\theta$ и подставляя в (2)равенства (6), получаем

$$x'=f(x)\,,\quad f(x)=x[1-a+(1-b)x^2]/(a+bx^2),$$ (7)

причем

$$a_0=p_0/(2-\tau_0),\quad (\lambda_0-\mu_0)a= \lambda_0+\lambda_2-2, \quad (\lambda_0-\mu_0)b=\lambda_0-2.$$ (8)

Функция $f(x)$ отображает числовую ось в себя. Она имеет разрывы второго рода при $ab<0$ в точках $\pm\sqrt{a/b}$ . При прочих значениях$a$ , $b$ и $x$ функция $f(x)$ непрерывна.

Таким образом, движение атома в сосуде при принятой модели отражения описывается итерационной схемой (5). Нас интересует, каковы установившиеся режимы, т.е. когда число $m$ столкновений неограниченно растет:$m\to\infty$ . 

$2^0$ .Свободномолекулярное течение газа в плоской щели. Определение скорости разреженного газа на выходе из щели, как отмечалось выше,относится к внутренним задачам аэродинамики. Даже в свободномолекулярном режиме, когда мы пренебрегаем столкновениями атомов между собой, эти задачи решаются численно на основе интегральных уравнений. Здесь мы покажем, как можно найти асимптотическое решение (при большом числе соударений атома со стенкой) на примере прохождения атома через плоскую щель, пользуясь методами нелинейной динамики из §1. Оказывается, на выходе из щели атом может вести себя весьма неожиданным образом (в зависимости от параметров течения): он может вообще не выйти из щели (эффект запирания), может иметь одно, два, четыре,$\ldots$ , $2^n$ ,$\ldots$ направлений скорости и даже скорость случайную, распределенную по некоторому вероятностному закону. 

Примем в качестве модели отражения атомов от стенок лучевую схему из п.$1^0$ , обозначая символами $\alpha _m$ и $\alpha ^{\prime }_m$ углы падения и отражения при $m$ -ом столкновении атома со стенкой. Для течения газа в плоской щели с прямолинейными параллельными стенками в этом случае вся траектория атома лежит в одной плоскости

и(см. рис. 2)$\theta_{m+1}=\theta_m^\prime$ , т. е. $g(\theta_m^\prime)=\theta_m^\prime$ , так что равенство (5) с учетом (4) упрощается:

$$\textrm{tg}\,\theta_{m+1}=\varphi(\theta_m),\quad \varphi (\t... ...ha \cos \alpha -\tau (\alpha ))/(p(\alpha )-2\cos ^2\alpha ).$$ (9)

Конкретизируем коэффициенты обмена $p(\alpha )$ и $\tau (\alpha )$ в (1) с помощью модели (6)-(8) и найдем соответствующие аттракторы при неограниченном увеличении числа столкновений $m$ , опираясь на методы из § 1.

$3^0$ . Аттракторы. В случае модели (6)-(8)неподвижными точками отображения (9), т.е. решениями уравнения $x=f(x)$ ,являются точки $x=\pm \infty$ при$1/b-1>0$ , $x=0$ и $x=\pm x_0$ , где $x_0^2=(2a-1)/(1-2b)$ . Так как

$$f^\prime (x)=g+2x^2(bg-1+b)^2/(a-b),$$ (10)

где $g(x)=f(x)/x$ , то $f^\prime (0)=1/a-1$ , $f^\prime (\pm\infty)=1/b-1$ ,

$$f^\prime (x_0)=1+2x_0^2(1-2b)^2/(a-b)\,.$$

Следует подчеркнуть, что в отличие от конечных неподвижных точек точки $x=\pm \infty$ суть аттракторы при $\vert f^\prime (\pm\infty)\vert>1$ и неустойчивы при $\vert f^\prime (\pm\infty)\vert<1$ . Учитывая это, с помощью элементарных операций над неравенствами нетрудно доказать следующие предложения.

Когда $x_0^2<0$ , аттракторами могут быть либо точка 0, либо точки $\pm\infty$ (из $\vert f^\prime (0)\vert<1$ вытекает $\vert f^\prime (\pm\infty)\vert<1$ ,а из $\vert f^\prime (0)\vert>1$ вытекает $\vert f^\prime (\pm\infty)\vert>1).$

Когда же $x^2_0>0$ , то справедливы утверждения $1^{\star}$ -$3^{\star}:$

$1^{\star}$ . Если $f^\prime (0)>1$ , то $f^\prime (\pm\infty)<1$ и при $b<1$ всегда$\vert f^\prime (\pm x_0)\vert<1$ (аттракторами являются только точки $\pm x_0$ ), а при$b>1$ точки $\pm x_0$ являются аттракторами только при $a_0\leq a<1/2$ , где $a_0=(b-1)/(4b-3)$ (в этом случае $\vert f^\prime (\pm x_0)\vert<1)$ .

$2^{\star}$ . Если $f^\prime (0)<-1$ , то при $b>1$ имеем $\vert f^\prime (\pm x_0)\vert>1$ (точки 0 и $\pm x_0$ не аттракторы, точки $\pm\infty$ не являются неподвижными), при $3/4<b<1$ имеем $\vert f^\prime (\pm x_0)\vert<1$ для $a_0<a<0$ (т. е. $\pm x_0$ -- аттракторы) и $\vert f^\prime (\pm x_0)>1$ при $-\infty<a<a_0$ ,а при $0<b<3/4$ имеем $\vert f^\prime (\pm x_0)\vert<1$ , $\vert f^\prime (\pm\infty)<1$ (т.е. $\pm x_0$ -- аттракторы, а $\pm\infty$ -- нет).

$3^{\star}$ . Если $\vert f^\prime (0)\vert<1$ , то $f^\prime (\pm x_0)>1$ , $\vert f^\prime (\pm\infty)\vert>1$ (или имеет место эффект запирания щели, или на выходе из нее скорость атома параллельна стенкам, в зависимости от того, из какого интервала задается начальное состояние: $(-x_0,x_0)$ или $\vert x\vert>x_0$ ).

Обратим внимание на то, что появились области значений параметров $a$ и $b$ , в которых все неподвижные точки первой итерации оказываются неустойчивыми. Мы попадаем в типичную ситуацию, когда возможны аттракторы более сложные, чем стационарная притягивающая точка.

Вычислим неподвижные точки второй итерации отображения (9), т.е. найдем решения уравнения $x=f(f(x))$ . Это уравнение преобразуется к виду

$$x(1+x^2)[1-2a+x^2(1-2b)][(1-b)^2x^4-(a+b-2ab-1)x^2+a^2]=0\,.$$

Из него мы получаем, что неподвижными точками второй итерации, кроме 0,$\pm\infty$ и $\pm x_0$ , являются четыре вещественных решения уравнения

$$(1-b)^2x^4-(a+b-2ab-1)x^2+a^2=0,$$

существующие при

$$a+b-2ab-1>0,\qquad D\equiv (a+b-2ab-1)^2-4a^2(1-b)^2>0$$ (11)

и равные

$$x^2_{1,2} = {\frac{1}{2(1-b)^2}}(a+b-2ab-1+\sqrt D),$$

$$x^2_{3,4} = {\frac{1}{2(1-b)^2}}(a+b-2ab-1-\sqrt D).$$ (12)

Решения снечетными индексами берем на положительной полуоси, с четными--на отрицательной. Очевидно, $f(x_1)=x_3$ , $f(x_3)=x_1$ ,$f(x_2)=x_4$ , $f(x_4)=x_2$ , т.е. если $x_1$ , $x_3$ (или $x_2$ ,$x_4$ ) -- устойчивые неподвижные точки второй итерации $f(x)$ ,то они образуют аттрактор отображения $f(x)$ типа предельногоцикла периода 2. Как отмечалось ранее (в § 1), устойчивость или неустойчивость этих точек определяется положительностью или отрицательностью выражения $1-\vert f^\prime (x_1)f^\prime (x_3)\vert$ для $x_1$ , $x_3$ и $1-\vert f^\prime (x_2)f^\prime (x_4)\vert$ для $x_2$ ,$x_4$ . Используя тождества

$${\frac{g(x_{1,2})}{x^2_{3,4}}}= {\frac{g(x_{3,4})}{x^2_{1,2}}}= {b-\frac{1}{a}},$$

из (10) получаем для мультипликатора

$$f^\prime (x_{1,2})f^\prime (x_{3,4})={\frac{(1+a-b)(2-3b)}{(a-b)(1-b)}}\,.$$ (13)

Ограничимся далее случаем$0<a<a_0$ и $b>1,x>0$ , когда $f(x)$ непрерывно отображает$[0,\infty)$ в себя и в силу утверждения $1^{\star}$ не имеет аттракторов типа стационарной притягивающей точки. Без такого рода ограничений мы рискуем превратить наше исследование в монографию, какие существуют для логистического отображения, но гораздо большего объема, так как наше отображение зависит не от одного, а от двух параметров. Возможно, в дальнейшем, если будет осознана необходимость для практики изучения этого отображения более подробно, такая монография и будет написана. Пока же у нас задача более скромная: указать на эффекты, которые на практике заметить очень трудно из-за малой точности измерений в разреженном газе. Нетрудно проверить, что неравенства (11) выполняются только при $0<a<a_0$ , а значит, неподвижные точки второй итерации существуют при $0<a<a_0$ и не существуют при$a>a_0$ . Имеем из (13)

$$1-\vert f^\prime (x_1)f^\prime (x_3)\vert={\frac{a(2b-1)-2(b-1)^2}{(b-a)(b-1)}}\,.$$ (14)

Правая часть (14) положительна (и тем самым $(x_1,x_3)$ -- предельный цикл) только при $a>a_1=2(b-1)^2/(2b-1)$ . Так как при этом $a<a_0$ , то должно быть $a_1<a_0$ , что дает ограничение на величину $b$ вида $1<b<1+1/2\sqrt 2$ . Правая часть последнего неравенства -- наибольший корень полинома$16b-8b^2-7$ , к которому сводится при $b>1$ числитель разности$a_0-a_1$ .

Замечая, что при $0<a<1$ и $b>1$ отображение (9) пересекает ось $x$ в точке$c=\sqrt {(1-a)/(b-1)}$ , изменим масштаб $x_m=cy$ , $x_{m+1}=cy_1$ в (9)так, чтобы точка пересечения совпала с единицей. Получаем

$$y_1=ry{\frac{1-y^2}{\omega+y^2}}\equiv\varphi (y),$$ (15)

где $0<r=1-1/b<1$ , $\omega=ra/(1-a)$ . Очевидно, функция $\varphi (y)$ имеет единственный максимум $y_M$ и при $y_M\leq 1$ непрерывно отображает отрезок $[0,1]$ в себя, причем $\varphi (0)=\varphi (1)=0$ и по обе стороны максимума $\varphi (y)$ монотонна. Производная Шварца (1.4) для $\varphi (y)$ приводитск виду

$${\cal S}\{\varphi\}=-{\frac{6(1+\omega)M(y^2)}{ (\omega+y^2)^2[\omega -(1+3\omega)y^2-y^4]^2}}\,,$$

где $M(t)=\omega^3+2\omega^2(1+3\omega)t+\omega(1+11\omega)t^2+4\omega t^3 -t^4.$

Трижды продифференцировав $M(t)$ , убеждаемся, что полином $M(t)$ в интервале$[0,1]$ может иметь не более одного корня $t_0$ , причем если $t_0<1$ , то$M(1)<0$ . Так как

$$M(1)=7\omega^3+13\omega^2+5\omega-1=(7\omega-1)(\omega+1)^2,$$

то при $\omega>\omega_1=1/7$ получаем $M(t)>0$ и, следовательно,${\cal S}\{\varphi\}<0$ . Таким образом, необходимое условие существования каскада бифуркаций Фейгенбаума выполнено равномерно по $r$ и $\omega>1/7$ .

$4^0$ . Аттракторы отображения (15). Ограничимся интервалом $0\leq y,y_1\leq 1$ . Неподвижная точка $y_0=\sqrt {(r-\omega)/(1+r)}$ притягивает все траектории в случае $\vert\varphi^\prime\vert<1$ , т.е. при $\Omega_1(r)<\omega<r$ , где$\Omega_1(r)=r^2/(1+2r)$ . 

Неподвижные точки второй итерации $y_1$ , $y_3$ образуют предельный цикл независимо от начальной точки$y\in[0,1]$ , если  $\Omega_2(r)<\omega<\Omega_1(r)$ , где$\omega=\Omega_2(r)$ -- решение уравнения

$$(1+2r)\vert r^2+2\omega r-\omega\vert-r^2(1+\omega)=0.$$

Эти результаты следуют из (13), (14), если использовать равенства $a=\omega/(r+\omega)$ , $b=1/(1-r)$ . Точно так же можно получить и значения$y_1$ , $y_3$ из (11), (12), используя связь $x$ с $y$ . 

Продолжение аналитических исследований связано с техническими трудностями. Так, уже уравнение для неподвижных точек третьей итерации занимает двестраницы. Поэтому обратимся к вычислениям.

Численная процедура очень проста. Задаем число итераций $n$ и организуем цикл для уравнения (15) с параметрами $r$ , $\omega$ . По результатам вычислений определяются аттракторы в пределах заданной точности и их период. Методом пристрелки уточняем значения параметров, при которых происходит переход от одного аттрактора к другому. Рассмотрим два примера.

П р и м е р 1. Фиксируем $y=$ 0,5, $n=3000$ , $\omega=$ 0,35 и меняем $r$ в пределах [0,1; 1,453]. Получается, что при $r<r_1$ аттракторами являются либо 0, либо $y_0$ ,а далее с возрастанием $r$ происходит удвоение периода: в интервалах $r\in (r_m,r_{m+1})$ имеем предельный цикл периода $2^m$ . Первые значени$r_m$ :

$$r_1=1,03015;\quad r_2=1,25448;\quad r_3=1,30430;\quad r_4=1,31361.$$ (16)

Для отыскания точки сгущения $r_{\infty}$ воспользуемся приближенным равенством(1.3). Исключая из него константу, получаем, что при $m\to\infty$

$$r_\infty={\frac{r_m\delta-r_{m-1}}{\delta-1}}\,,$$ (17)

где $\delta$ -- постоянная Фейгенбаума. Используя в (17)равенства (16) для $m=3$ и $m=4$ , находим соответственно$r_\infty=1,3179$ и $r_\infty=1,3162$ , т.е. довольно близкие значения, несмотря на малость $m$ . Хаусдорфова размерность аттрактора при значении $r_\infty$ , вычисленная по формуле(1.5), равна ${\cal D}=0,50888394\ldots$ , причем аттрактор покрывался малыми сегментами длины $10^{-9}$ .

На рис. 3 построены зависимости аттракторов от параметра $r$ при начальной точке $x_0=0,25$ и синхронно с ними величина показателя Ляпунова $\lambda (x_0)$ , рассчитанная по формуле (1.6). Ясно видно, что когда показатель Ляпунова становится положительным, наступает хаотизация предельного (при $n\to \infty$ ) поведения итераций рассматриваемого отображения.

На рис. 4 приведено процентное распределение точек 2000 последовательных итераций отображения при $r=1,445$ , когда аттрактор хаотический. Видно стремление к плотности инвариантной меры.

Любопытно, что в этом примере при $r>r_\infty$ обнаруживаются предельные циклы периодов 3; $2\cdot 3$ ; $2\cdot 3^2$ ; $2^2\cdot 3^2$ и т.д. Так, при$r=$ 1,45031 и $r=$ 1,45199 имеем предельные циклы периода $2\cdot 3$ , при$r=$ 1,44554 и $r=$ 1,45 предельные циклы периода 3, при $r=$ 1,452предельный цикл периода $2\cdot 3^2$ , при $r=$ 1,453 -- периода $2^2\cdot 3$ .

П р и м е р 2. Фиксируем $y=0,5$ , $r=0,8$ и меняем $\omega$ и число итераций$n$ (от 100 до 10 000). Получаем, что при $\omega\in [\omega_m,\omega_{m-1}]$ имеем предельный цикл периода $2^m$ . Значения $\omega_m$ для $m=0,1,2,3,4$ :

$$0,24614;\quad 0,17766;\quad 0,16618;\quad 0,1637;\quad 0,1631.$$

Соответствующие значения параметра $a$ :

$$0,23529;\quad 0,18172; \quad 0,17200;\quad 0,1699;\quad 0,1694.$$

Вычисленные по (17) для $m=3$ и $m=4$ значения точки сгущения $\omega_\infty$ суть соответственно 0,16304 и 0,162997 (для $a_\infty$ это 0,1693и 0,16926), т.е. опять очень близки друг к другу.

$5^0$ . Замечание о математическом бильярде.Рассмотренная итерационная схема блуждания атома в плоскойщели, построенная на основе лучевой модели отражения, описывает и блуждание атома в круге, если егоначальная скорость лежит в плоскости круга. Отличие от схемы круглого математического бильярда -- только в законе взаимодействия атома (шара) состенками (в математике догматически используется исключительно модель зеркального отражения), и, чтобы найти аттракторы сложных типов, приходится изменять геометрическую форму бильярда, т.е. получать нелинейную структуру функции $\psi$ в (2) за счет функции $g$ . Если, однако, взять лучевую модель отражения, то все полученные нами результаты полностью применимы ик круглому бильярду, следует только слово "щель" заменить на слово "круг", а слово "атом" на слово "шар".