Г л а в а 2
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС

В 1963 г. Г. Лоренц, решая задачу определения конвективных потоков в слое жидкости, подогреваемом снизу, обнаружил, что простая автономная динамическая система из трех дифференциальных уравнений

$$\frac{dx}{dt}=\sigma \cdot (y-x),\quad \frac{dy}{dt}=r\cdot x-y-xz,\quad \frac{dz}{dt}=xy-b\cdot z,$$ (1)

при некоторых значениях параметров $\sigma$ , $r$ и $b$ (обеспечивающих диссипативность системы (1)) имеет в пространстве состояний $(x,y,z)$ множество меньшей размерности, к которому при $t\to \infty$ стремятся траектории системы (1), но это множество (аттрактор) настолько запутано, что траектории, исходящие из соседних точек в начальный момент, попадают по истечении достаточно большого времени на аттрактор в точки, отстоящие одна от другой на очень большие расстояния. Поэтому любой сбой в задании начальных значений при повторении расчетов, обычный в нашей практической деятельности и неизбежный ввиду ограниченной точности, с какой мы можем задавать, например, иррациональные числа, -- этот сбой приводит к тому, что при повторении расчетов мы не получаем однозначного ответа, а лишь некоторое "облако" результатов. Это удивительно -- ведь система состоит всего из трех уравнений, т.е. всего три степени свободы, и тем не менее, решая ее для достаточно большого $t$ , мы получаем некоторую совокупность чисел, описать которые можем только вероятностными методами. Соответствующее предельное множество (детерминированной природы) называется странным аттрактором.

Можно себе представлять странный аттрактор динамической системы с конечным числом степеней свободы как некий клубок ниток в пространстве состояний системы, а процесс вычисления от начального значения как процесс протыкания этого клубка спицей. Попробуйте спицей попасть дважды в одно и то же место в глубине клубка, хотя нитка-то намотана на клубок всего одна!

С открытием странных аттракторов повеяло надеждой, что наконец-то основная нерешенная проблема современной гидродинамики -- проблема турбулентности -- получит ответ. Проблема поставлена в конце XIX века Рейнольдсом, экспериментировавшим с окрашиваемой струйкой в течении жидкости в круглой трубе. При достижении некоторого критического числа Рейнольдса эта струйка окрасит весь объем жидкости в результате перемешивания соседних струек жидкости (число Рейнольдса $\textrm{Re}$ определяется как произведение диаметра трубы на среднюю скорость течения и плотность жидкости, отнесенное к молекулярной вязкости жидкости). При меньших значениях $\textrm{Re}$ окрашенная струйка отчетливо течет параллельно стенкам (ламинарный режим), но при превышении некоторого порогового значения $\textrm{Re}_0$ она начинает отклоняться от осевого направления в разные стороны и при дальнейшем увеличении $\textrm{Re}$ ведет себясовершенно хаотически (турбулентный режим). 

Для изучения хаотических режимов и создана теория случайных процессов и полей. С ее помощью на уровне первых моментов описать турбулентное течение принципиально не составляет затруднений (хотя велики технические трудности). На уровне первого момента (средней скорости течения) создано много полуэмпирических теорий турбулентности, в которых для замыкания уравнений для поля скоростей идавлений используются различные гипотезы, представляющие корреляционную матрицу через функции от компонент средней скорости или ее пространственных производных с эмпирическими параметрами (см. наиболее продвинутую в этом направлении монографию В. В. Новожилова и В. А. Павловского [1]). В более общем случае делаются попытки изучать турбулентные течения методами теории случайныхполей, но результаты, имеющие прикладное значение, получены пока только для специального вида таких полей (например, изотропных), хотя, строго говоря, такие поля в природе не наблюдаются. Таким образом, решенная принципиально проблема описания турбулентных течений наталкивается на технические трудности, преодолеваемые пока различными искусственными приемами. 

Вторая сторона проблемы турбулентности -- о возникновении стохастичности в первоначально ламинарном течении -- вполне возможно будет решена с помощью странных аттракторов, которые в настоящее время интенсивно ищутся для уравнений движения жидкости. Мы ограничимся решением "проблемы турбулентности" для атома газа, блуждающего в щели, образованной двумя параллельными стенками. Его движение сведется к итерационной схеме

$$x_{n+1}=f(x_n),\quad n=0,1,2,\ldots ,\quad x_n\in [0,1],$$ (2)

где $f(x)$ -- нелинейнаяфункция.  Роль времени здесь играет натуральное число$n$ , а уравнение (2) играет роль уравнения динамики системы в пространстве состояний $x\in [0,1]$ , $x_0$ -- начальное состояние системы. 

Детерминированным хаосом мы назовем предельное поведение схемы (2) на странном аттракторе при $n\to \infty$ в случае ее реализации на ЭВМ. Точные определения детерминированного хаоса см. в учебнике [2]. Подчеркнем, что если бы точность вычислений не была ограничена, повторные итерации по схеме (2) от любой допустимой начальной точки $x_0$ приводили бы при сколь угодно больших $n$ к одному и тому же результату $x_n$ на странном аттракторе, несмотря на сложную (запутанную) его структуру. Лишь ошибки округления чисел на некотором шаге итерационного процесса переводят конечный результат вычисления на другое значение того же самого аттрактора, которое, в силу странности аттрактора, может отстоять от требуемого очень далеко. 

Мы включили в пособие по случайным процессам материал этой главы для демонстрации возникновения случайности в детерминированном процессе. Детерминированные процессы можно рассматривать как вырожденный случай случайных, когда стохастическая мера сосредоточена на единственной кривой в пространстве состояний, т.е. когда траектория процесса с вероятностью единица известная кривая. Тем не менее, даже если начальные значенине имеют вероятности разброса, конечные ее значения могут описываться только вероятностными методами.