Тропическая математика

Тропическая (идемпотентная) математика представляет собой область прикладной математики, связанную с изучением полуколец с идемпотентным сложением. За последние десятилетия эта область превратилась в один из наиболее быстро развивающихся разделов математики, роль которого как теоретической дисциплины и эффективного инструмента решения практических задач в экономике, технике, управлении и других областях постоянно растет. Описание в терминах идемпотентной математики позволяет целый ряд нелинейных в обычном смысле задач превращать в линейные, что во многих случаях приводит к упрощению анализа и решения задачи, а также облегчает представление и интерпретацию результатов.

Среди причин увеличения интереса к идемпотентной математике со стороны как теоретиков, так и прикладных специалистов можно также назвать следующие. Во-первых, многие классические задачи оптимизации (задачи оптимизации на графах, задача динамического программирования, задача о назначении и другие) сводятся в терминах идемпотентной алгебры к решению линейных уравнений, нахождению собственных чисел и векторов линейного оператора и тому подобным вычислениям. В то же время оказывается, что некоторые известные алгоритмы решения таких задач после их перевода на язык идемпотентной математики оказываются идемпотентными аналогами традиционных вычислительных процедур линейной алгебры таких, как метод Гаусса-Зейделя и метод Якоби. Наконец, эволюция многих динамических систем, которые встречаются на практике (например, системы и сети с очередями), может быть описана при помощи линейных векторных уравнений идемпотентной алгебры. Это открывает новые возможности для исследования таких систем на основе подходящим образом определенных идемпотентных аналогов математических объектов, методов классической линейной алгебры и теории линейных динамических систем.