Матмех СПбГУ. Задачи на региональной олимпиаде для школьников по математике 2004 года.

Вариант 1

  1. Найдите все последовательности a1, a2, ... , удовлетворяющие рекуррентному соотношению , для которых произведение ( 1 + 2an) . an+1 постоянно.
  2. Решите неравенство

  3. Решите уравнение

  4. Решите систему уравнений

  5. Найдите все многочлены вида x3 + a x2+ (1 - 2c) x + c, имеющие ровно два различных корня, если известно, что сумма этих корней равна -1.
  6. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение


    7. имеет решение.
  7. На дуге AB некоторой окружности взята точка С. Известно, что

    Найдите , где K - основание перпендикуляра, опущенного из середины дуги AB на прямую BC.
  8. Найдите a, при которых уравнение (x2 - 10 x + 9) (x2 - 12x + 20) = a имеет четыре различных целых корня.

Вариант 2

  1. Найдите все последовательности a1, a2, ... , удовлетворяющие рекуррентному соотношению , для которых отношение ( 1 - 2an) : an+1 постоянно.
  2. Решите неравенство

  3. Решите уравнение

  4. Решите систему уравнений

  5. Найдите все многочлены вида x3 + ax2 + (1 + 2c) x + c, имеющие ровно два различных корня, если известно, что сумма этих корней равна 1.
  6. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение


    7. имеет решение.
  7. На дуге AB некоторой окружности взята точка С. Известно, что


    8. Найдите , где E - основание перпендикуляра, опущенного из середины дуги AB на прямую AC.
  8. Найдите a, при которых уравнение (x2 - 7x - 8) (x2- 11x + 10) = a имеет четыре различных целых корня.
Ответы на задачи.