Матмех. Региональная олимпиада по математике 20 апреля 2003 года.

Задачи

Первый вариант
  1. Укажите все квадратичные трехчлены x2+ax+b (a, b - вещественные числа), такие, что x6+ax3+b делится на x2+ax+b без остатка.
  2. Сумма конечной убывающей арифметической прогрессии, одним из членов которой является -1, равна 0. Найдите ее разность, если известно, что произведение 7-го и 13-го членов равно 1.
  3. Решите неравенство:
  4. Решите неравенство:
  5. Решите уравнение:
  6. Окружность, построенная на стороне AB остроугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает в точке K высоту, опущенную из вершины C. Докажите, что CK . HP = HK . KP, где P - основание высоты, а H - ортоцентр.
  7. В равнобедренной трапеции ABCD основания AD=33 и BC=63. Найдите радиус окружности, описанной вокруг трапеции, если известно, что отношение радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABD и ABC, равно 2/3.
Второй вариант
  1. Укажите все квадратичные трехчлены x2+ax+b (a, b - вещественные числа), такие, что x6+ax3+b делится на x2-ax+b без остатка.
  2. Сумма конечной возрастающей арифметической прогрессии, одним из членов которой является 1, равна 0. Найдите ее первый член, если известно, что произведение 4-го и 14-го членов равно 1.
  3. Решите неравенство
  4. Решите неравенство
  5. Решите уравнение
  6. Перпендикуляр, восстановленный из точки K, лежащей на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, пересекает катет AC в точке N и продолжение катета BC в точке D. Докажите, что MK2 = DK . KN, где M - точка пересечения отрезка KD с окружностью, описанной около треугольника ABC.
  7. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ BD=15 и боковая сторона CD=13. Найдите площадь трапеции, если известно, что отношение радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC и ABD, равно 3/8.
: