Прием-2000. Задачи, предложенные абитуриентам на приемных экзаменах

Математико-механический, прикладной математики-процессов управления ф-ты СПбГУ, дневное отделение.

Первый вариант

  1. Найти все значения параметра a, при которых уравнение

    2.         
    имеет 2 решения.
  2. Решить уравнение

    3.         
  3. Решить неравенство

    4.         
  4. Точка O является общим центром двух окружностей. Вершины лежат на внешней окружности. Две его стороны касаются внутренней окружности, а третья сторона пересекает эту окружность в точках M и N. Найти отношение радиусов этих окружностей, если известно, что .
  5. Две треугольные пирамиды MABC, NABC имеют общее основание ABC и не имеют других общих точек. Все вершины обеих пирамид лежат на одной и той же сфере. Найти длины ребер MA и MB, если известно, что они равны между собой и длины остальных ребер равны 1.

Второй вариант

  1. Найти все значения параметра a, при которых уравнение

    2.         
    имеет 2 решения.
  2. Решить уравнение

    3.         
  3. Решить неравенство

    4.         
  4. Точка O является общим центром двух окружностей. Вершины равнобедренного лежат на внешней окружности. Его основание AC касается внутренней окружности, а боковые стороны пересекают ее. Найти отношение радиусов окружностей, если известно, что  , где P  и Q - точки пересечения внутренней окружности со стороной AB.
  5. Две треугольные пирамиды ABCK и ABCL имеют общее основание ABC и не имеют других общих точек. Все вершины обеих пирамид лежат на одной и той же сфере. Найти длину ребра BC, если известно, что длины всех остальных ребер равны 1.

Ответы на задачи
Решения задач