Задачи Олимпиады для школьников (23 апреля 2000 г.)

Вариант 1

Задание 1.

a) Существует ли геометрическая прогрессия, среди членов которой имеются числа 2, 3 и 5?
б) Решите уравнение [2 cos 3x] = 2 sin2x (здесь  [..] - это целая часть числа, т.е. наибольшее целое число, его не провосходящее).
в) Найдите количество лежащих на кривой x2 - y2 = 2000 точек плоскости, кординаты которых суть целые числа.
г) Два шахматиста играют матч до первой победы. Известно, что во встречах друг с другом каждый из них, играя белыми фигурами, побеждает с вероятностью , а проигрывает с вероятностью  (тем самым с вероятностью  в каждой из партий фиксируется ничья). Если в 40 партиях матча будет зафиксирована ничья, то для определения победителя кидают жребий. Оцените (с разумной точностью) шансы на выигрыш того игрока, с хода которого начнется матч).

Задание 2.

а) Решите неравенство: .
б) Решите уравнение: .
в) Внутри угла величиной 600 с вершиной в точке A на расстоянии 4 от нее расположена точка M. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны этого угла.

г) Сколько сторон имеет сечение куба ABCDA'B'C'D' плоскостью, проходящей через точки , которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 16:9, 2:3, 1:2 (считая от вершины, указанной первой)?

Задание 3.

Последовательность {xn}, начальный член x0 которой  - натуральное число, задана соотношениями

а) Найдите все периодические последовательности данного вида.
б) Докажите, что всякая последовательность данного вида имеет периодический "хвост", т.е. для нее найдутся такие натуральные числа N и t, что xn+t = xnдля всякого.
 

Задачи Олимпиады для школьников (23 апреля 2000 г.)

Вариант 2

Задание 1.

a) Существует ли геометрическая прогрессия, среди членов которой имеются числа 3, 7 и 10?
б) Решите уравнение [2 sin 3x] = -2 sin 2x (здесь  [..] - это целая часть числа, т.е. наибольшее целое число, его не превосходящее).
в) Найдите количество лежащих на кривой x2 - y2 = 1944 точек плоскости, кординаты которых суть целые числа.
г) Два шахматиста играют матч до первой победы. Известно, что во встречах друг с другом каждый из них, играя белыми фигурами, побеждает с вероятностью , а проигрывает с вероятностью  (тем самым с вероятностью  в каждой из партий фиксируется ничья). Если в 80 партиях матча будет зафиксирована ничья, то для определения победителя кидают жребий. Оцените (с разумной точностью) шансы того игрока, с хода которого начнется этот матч.

Задание 2.

а) Решите неравенство: 
б) Решите уравнение: корень квадратный из.
в) На сторонах угла величиной 1200 с вершиной в точке A на расстоянии 4 друг от друга лежат точки K и L. Пусть M- точка пересечения восстановленных в точках K и L перпендикуляров к соответствующим сторонам углам. Найдите расстояние от M до А.

г) Сколько сторон имеет сечение куба ABCDA'B'C'D' плоскостью, проходящей через точки , которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 1:4, 11:4, 8:7 (считая от вершины, указанной первой)?

Задание 3.

Последовательность {xn}, начальный член x0 которой  - натуральное число, задана соотношениями

а) Найдите все периодические последовательности данного вида.
б) Докажите, что всякая последовательность данного вида имеет периодический "хвост", т.е. для нее найдутся такие натуральные числа N и t, что xn+t = xn для всякого n>N.