Геологический факультет и факультет географии и геоэкологии СПбГУ, дневное отделение, 2000 г.
Вступительные экзамены по математике.

Ответы

Решение задач первого варианта

1. Положим . Ясно, что уравнение  имеет решение лишь при . Следовательно,  должно быть положительным и отличным от 1.
1. 
2. 

 
2. ОДЗ: 
   
   Если , то неравенство выполнено.
   Пусть . Тогда  (x₁= -1, x₂ = 11).
   С учетом , получаем 
3. ОДЗ: . Полагая имеем
   


4. ОДЗ: .
   .
   Корень x₂ не входит в ОДЗ.


5. Пусть стороны треугольника ABCD равны AB =CD = a, DC = AD = b  и пусть вершины K, L, M и N ромба KLMN лежат на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно и при этом AK < BK.
   Таким образом ближайшей к K вершиной прямоугольника является A.