Химический и филологический (лингвисты) факультеты СПбГУ.
Вступительные экзамены по математике. Ответы.

Ответы:

Решение задач первого варианта

1. Для филологического факультета:
   ОДЗ:. Рассмотрим функции  и . Исходное уравнение примет вид  f(x) + g(x) = 10.
   На отрезке [-4,0] функция  f(x) убывает, а функция g(x) возрастает. Таким образом
   .
   Учитывая, что , убеждаемся, что на указанном отрезке уравнение корней не имеет.
   На промежутке  функции  f(x) и g(x) строго возрастают. Поэтому уравнение может иметь не более одного корня, который легко угадывается: x = 8.

   Для химического факультета:
   Функция определена на  и нечетна  f(-x) =  -f(x). При x>0 она примет вид:
   
   См. график в ответе.


 
2.  
3. См. решение задачи 3-го варианта задач для мат-меха и ПМ-ПУ.
4. См. решение задачи 4-го варианта задач для мат-меха и ПМ-ПУ
5. Пусть а - первый член и d - разность арифметической прогрессии. Тогда, согласно условию,


1. d = 0. Из условия следует тогда, что 
   .
2. 15a + 16d = 0. в этом случае арифметическая прогрессия имеет вид

.
Если d < 0, то положительными являются первые ее четыре члена. Следовательно,

 Если d > 0, положительными являются три последних ее члена. Следовательно,
.