1.2. Методология законов сохранения

При построении математической модели изучаемого объекта из всех характеризующих его связей выделяются наиболее существенные. Эти сязи, как правило, записываются в виде уравнений, которые выражают фундаментальные законы естествознания. Сами объекты могут быть совершенно различными по своей природе и назначению -- физические или биологические явления, технологические процессы, механизмы или конструкции. Остановимся на методологии построения математических моделей явлений и процессов, основанной на законах сохранения.

Пусть величина $\varphi$ является количественной характеристикой некоторого свойства элемента исследуемой системы (массы, импульса, энергии и т.п.). Вообще говоря, $\varphi$ -- вектор с компонентами $\varphi_k$ ( $k=\overline{1,s}$). Через вектор $\vec x$ с компонентами $x_i$ ( $i=\overline{1,n}$) обозначим индивидуальные признаки элемента системы (например, координаты, фазовые переменные), а через $t$ -- независимую переменную, характеризующую время. Основные характеристики являются функциями времени и индивидуальных признаков, т.е. $\varphi=\varphi (t,\vec x)$.

В точных науках (в физике, механике и астрономии) всегда существовала тенденция формулировки своих законов в форме

$$\F(\varphi)=\lf {const},$$ (1)

описывающей зависимость между свойствами элементов системы. При этом константа справа сохраняется вдоль траектории движения элемента в пространстве $R^n$. Зависимости (1) называют законами сохранения.

Зависимости (1) справедливы при вполне определенных условиях. Например, закон Бойля--Мариотта:

$$p V=\lf {const},$$

($p$ -- давление; $V$ -- объем данной массы газа) справедлив при постоянной температуре $T$; уравнение состояния Клапейрона:

$$p=\varrho R T$$

($\varrho$ и $R$ -- соответственно плотность газа и газовая постоянная) справедливо для идеального разреженного газа; уравнение состояния Ван-дер-Ваальса:

$$\left(p+a \varrho^2\right)\left(1-4 c_{\lf g}\right)=\varrho R T$$

(в котором $c_{\lf g}$ -- параметр Ван-дер-Ваальса, учитывающий долю газового объема, приходящегося на собственный объем молекул, множитель $a$ вычисляется по параметрам потенциала межмолекулярного взаимодействия или по параметрам критического состояния газа) оправдано, строго говоря, в области сравнительно высоких температур и умеренных давлений; постоянство суммы кинетической и потенциальной энергий выполняется для консервативных (гамильтоновых) систем.

Стремление исследователей расширить область применения законов сохранения приводит к необходимости выяснения причин изменения соответствующих констант. Если такие причины, часто именуемые воздействиями, выявлены с нужной степенью точности, то это удается сделать.

Пусть для определенности рассматривается дискретная система, а $\varphi_k (t,\vec x)$ -- это количественные характеристики различных свойств элементов системы. Тогда для системы можно ввести признак

$$\Phi=\sum_k \varphi_k (t,\vec x)$$ (2)

(вообще говоря, векторное свойство). В этом случае свойства и индивидуальные признаки связаны с элементами системы.

Если имеем дело со сплошной средой (континуумом), то вместо $\varphi_k$ вводится плотность признака $\varphi$. Это позволяет вместо (2) воспользоваться интегральной характеристикой

$$\Phi=\int_{\omega} \varphi (t,\vec x)\,d\omega,$$ (3)

здесь $\omega$ -- область задания вектора $\vec x$ индивидуальных признаков. В случае континуума его свойства и индивидуальные признаки связаны с физически бесконечно малым объемом среды (с жидкой частицей).

Если $F$ -- известное воздействие (векторное, вообще говоря), то в любом из указанных случаев (для дискретной системы и континуума) удается записать выражение

$$\frac{d}{dt}\,\Phi=F.$$ (4)

В случае континуума (4) или интеграл от него по времени часто называют интегральной формой закона сохранения.

Воздействие $F$ всегда можно представить в форме

$$F=F^{\,+}\,-\,F^{\,-},$$ (5)

где $F^{\,+}$ характеризует количественный рост признака $\Phi$, а $F^{\,-}$ -- его убыль. При этом данное воздействие может быть функцией параметров $\varphi_k$ (для дискретной системы) или плотности $\varphi$ (для континуума), дифференциальным оператором, функционалом. От этого зависит характер уравнения (4) (обыкновенное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение в частных производных, интегродифференциальное уравнение и т.д.), а также степень его сложности.

Дальнейшее обобщение понятия закон сохранения состоит в том, что под ним подразумевается схема рассуждения, позволяющая установить связь между самими признаками или признаками и воздействиями, а не конкретный математический аппарат описания явления или процесса. Если же последовательность рассуждений удается записать в виде (4), то будем считать, что сформулирован закон сохранения (дана его математическая формулировка).