|
Родился 30.06.1907, Юхнов (ныне Калужской обл.)
Умер 20.10.1989, Москва
Член-корреспондент c 26.06.1964 - Отделение математики
(математика, в том числе вычислительная математика)
Государственная
премия СССР - 1981
(сайт
Академии Наук)
*
* *
Гармония в Алгебре
к столетию со дня рождения члена-корреспондента
АН СССР
Дмитрия Константиновича Фаддеева
С.В. Востоков,
профессор
И.Р. Шафаревич, академик
... Первая, формирующая математическую индивидуальность,
часть научного пути Д.К.Фаддеева приходится на эпоху, когда
советская математика только складывалась и приобретала ту форму,
которую мы знаем по временам расцвета Советского Союза. Это
была эпоха, очень интересная своими контрастами. В частности,
некоторые области математики тогда находились на очень высоком
уровне, в то время как другие, часто очень важные, классические
ее разделы были совершенно неизвестны. Почти полная изоляция
от математики Запада, наступившая к 1935 году, оставляла преодоление
этих контрастов исключительно нашим внутренним силам. И такая
работа составляла большую часть тогдашней математической деятельности,
часть невидимую, мало, а то и совсем никак не отразившуюся в
научных публикациях.
В качестве примера таких контрастов напомним,
что у нас тогда сложилась школа теории функции действительного
переменного, вряд ли имевшая равную себе в мире (Ф. Егоров и
Н.Н. Лузин). Была прекрасно известна теоретико-множественная
топология. (П.С. Александров и П.С. Урысон) На высоком уровне
находился функциональный анализ в духе теории банаховых пространств.
Позднее очень популярной стала абстрактная алгебра (А. Курош).
Но и в некоторых классических областях поддерживался высокий
уровень – продолжалась, например, работа Петербургской (а в
это время Ленинградской) школы теории чисел, не ослабевал интерес
к теории дифференциальных уравнений (Н.М.Гюнтер, В.В.Степанов).
С другой стороны, совершенно неизвестными оставались такие
разделы, как классическая теория компактных римановых поверхностей
алгебраических функций, тем более, алгебраическая геометрия.
Неизученной была теория полей классов, даже теория самосопряженных
операторов в гильбертовом пространстве и, тем более, теория
расширений операторов стали широко известны лишь к самому концу
30-х годов.
Изучение многих классических разделов математики было не «учебным
процессом», происходило не на семинарах и спецкурсах, а больше
походило на творческий процесс или, по крайней мере, на сотрудничество
с истинными авторами. Во многих случаях само осознание того,
что существует совершенно неизвестный глубокий раздел математики,
было откровением. Такое положение делало работу математика исключительно
интересной. Стиралась грань между изучением математической литературы
и собственными научными исследованиями – все это сливалось в
один процесс «открытия математики».
Но эта ситуация порождала и большие трудности. Много сил, которые
можно было бы потратить на собственные исследования, уходило
на продумывание и понимание уже давно сложившихся и неизвестных
только у нас разделов. А нередко работа в таких областях грозила
тем, что радовавшее душу открытие оказывалось лишь переоткрытием
известного результата. Но именно здесь сказалась удивительная
черта Дмитрия Константиновича. Он был редким математиком, готовым
с радостью выслушать собеседника, чтобы тот ни хотел ему рассказать.
В его реакции на математический результат отступало на задний
план то, кем он был получен, – шла ли речь о его собственном
открытии или о результате того, кто ему об этом рассказывал,
или о старой, но раньше неизвестной говорящему теореме, – основную
роль играла красота результата.
Это качество определило ту громадную роль, которую Д.К. Фаддеев
играл в развитии нашей математики – роль, далеко не полностью
отразившуюся в его научных публикациях.
Чтобы проиллюстрировать характер занятий математикой в 30-е
годы, приведем следующий пример. Дмитрий Константинович привез
в Москву работу о строении кольца целых чисел поля алгебраических
чисел как модуля над кольцом целых чисел некоторого подполя.
В частном случае - это «теорема о фундаментальном базисе», присутствующая
во всех учебниках теории полей алгебраических чисел, начиная
со знаменитого «Обзора» Д. Гильберта. Вскоре выяснилось, что
теорема не нова – ее доказал Е. Штейниц в форме теоремы о преобразовании
прямоугольных матриц. И все же жаль, что Фаддеев не опубликовал
свою работу (например, как методологическое новшество), ведь
результат Штейница мало известен алгебраистам, его и сейчас
нет в основных руководствах по коммутативной алгебре, а много
позже, уже после войны, Э.Артин переоткрыл и опубликовал его!
Дмитрий Константинович внёс вклад почти во все разделы современной
ему математики, но в центре его творчества всегда была алгебра,
ему принадлежат значительные результаты в алгебраической теории
чисел, алгебраической геометрии, теории Галуа, теории алгебр,
теории представлений, он был одним из создателей гомологической
алгебры. Он много работал и в других областях математики – теория
функций, геометрия, теория вероятностей, геометрической кристаллографии
– и особенно плодотворно – в численных методах математики. В
списке его трудов более 160 названий.
При всем разнообразии математических интересов Дмитрия Константиновича
была одна тема, которой он отдал больше всего сил, и которая
была особенно близка его душе – это теория Галуа, и в частности,
так называемая задача погружения. Речь идет о следующем вопросе.
Классическая теория Галуа изучает группу, которая появляется
в так называемых расширениях полей Галуа и связывает подгруппы
этой группы с промежуточными расширениями. «Обратная задача
теории Галуа» исследует, каким расширениям соответствует заданная
группа. Естественным обобщением обратной задачи теории Галуа
является задача погружения, которой занимались ведущие алгебраисты
того времени, в том числе и Д.К.Фаддеев.
Смысл решения задачи погружения в том, что, зная, какие группы
реализуются как группы Галуа расширения данного поля и как решается
задача погружения для них, можно методами теории Галуа описать
всю совокупность сепарабельных расширений этого поля. Особенно
красива задача погружения с абелевым ядром. В этом случае она
тесно связана с обратной задачей теории Галуа для разрешимых
групп.
К этому случаю относятся и исследования Д.К.Фаддеева.
Он открыл очень важное условие, необходимое для разрешимости
задачи погружения, названное им условием согласности. Некоторое
время было неясно, не является ли это условие достаточным. Х.Хассе
переоткрыл условие согласности на несколько лет позже (тут сыграла
роль слабая циркуляция журналов во время войны) и высказал предположение,
что оно и достаточно. Д.К.Фаддеев такой гипотезы не высказывал,
и ему принадлежит один из первых примеров недостаточности условия
согласности для разрешимости задачи погружения. Разделение условий
разрешимости задачи погружения на условие согласности и дополнительные
условия – пример очень важного явления, потом встречающегося
в различных вопросах алгебраической теории чисел.
Прогресс в теории Галуа во второй половине двадцатого века
обязан в наибольшей степени усилиям московской и ленинградской
школ, возглавляемых соответственно И.Р.Шафаревичем и Д.К.Фаддеевым.
Так, было доказано, что в случае локальных полей при абелевом
ядре условие согласности гарантирует разрешимость задачи погружения
(С.П. Дёмушкин и И.Р.Шафаревич). Полностью задача погружения
полей в случае абелева ядра была изящно решена А.В.Яковлевым
– учеником Д.К.Фаддеева. Итогом деятельности Д.К.Фаддеева в
этой области стала написанная им в соавторстве со своими учениками
В.В. Ишхановым и Б.Б. Лурье книга “Задача погружения в теории
Галуа” (сам Д.К.Фаддеев не дожил нескольких месяцев до выхода
книги в свет).
Занимаясь задачей погружения, Дмитрий Константинович столкнулся
с формализмом так называемых «систем факторов», все время в
этой связи встречающихся, и обнаружил, что он является частным
случаем гораздо более общей конструкции. Так была открыта теория
когомологий групп. По воспоминаниям сына Дмитрия Константиновича,
когда они находились в эвакуации в городе Казани в 1943 году,
в какой-то из вечеров отец ходил по комнате весь возбужденный,
и восклицавший, что он открыл нечто замечательное ( как оказалось
позже – это были коциклы) . Сын спросил его, «А сколько людей
в мире поймет то, что ты сейчас сделал» - « Ну человек , может
быть пять» ответил отец. Одновременно теорию когомологий групп
открыли С. Эйленберг и С. Маклейн, которые пришли к ней, исходя
из совсем другого вопроса . Создание теории когомологий групп
было одним из самых значительных математических событий середины
этого века. Ряд математиков предчувствовал существование такой
теории. Так, А. Вейль в комментариях к своему собранию сочинений
вспоминает, как в 30-е годы говорил своим друзьям, что ему хотелось
бы определить «числа Бетти конечной группы». Трёхмерная группа
когомологий встречалась у О. Тейхмюллера, и, приведя соотношение,
определяющее трехмерный коцикл, он пишет, что обобщение этого
соотношения для случая n>3 ему указал Е. Витт. Возможно,
Витт знал общее определение групп когомологий (или, по крайней
мере, коциклов), но не опубликовал его. Дело, конечно, не сводилось
к одному определению, необходимо было систематическое развитие
теории – это сделали Д.К. Фаддеев и независимо С. Эйленберг
и С. Маклейн. Теория когомологий групп была зерном, из которого
выросло мощное дерево гомологической алгебры, обильно плодоносящее
и до сих пор. Одним из наиболее значительных достижений гомологической
алгебры было создание алгебраической К-теории. И в этой области
в школе Фаддеева были достигнуты воистину впечатляющие успехи.
Самым ярким примером является теорема Меркурьева-Суслина, определяющая
в явном виде группу Брауэра почти произвольного поля. Известный
математик А.Алберт сформулировал ещё до войны в виде гипотезы
полученный ими позже результат (даже лишь часть его), и чувствовалось,
насколько безнадёжной и недоступной эта гипотеза казалась. Такой
сильный математик, как Р. Брауэр, пытался проверить одно ее
следствие (всякое тело имеет поле разложения с разрешимой группой
Галуа), но смог сделать это лишь для тел очень небольшой размерности.
Еще есть одна большая и находящаяся только в начале своего
развития область алгебры, где влияние Дмитрия Константиновича
было исключительно глубоко, – это исследование неполупростых
объектов (колец, модулей). Классическим примером является теория
представлений конечных групп над полем ненулевой характеристики.
Пожалуй, никакая другая часть алгебры не имеет таких многочисленных
приложений в математике и математической физике. Во всех этих
вопросах алгебраическая сторона выяснена в принципе до конца:
по-видимому последним завершающим результатом является теорема
Меркурьева-Суслина о строении группы Брауэра, упоминавшаяся
выше. Но, выходя за пределы полупростых колец и модулей, мы
попадаем в совершенно неисследованную область, а несколько десятилетий
назад здесь вообще ничего не было известно. К этой области относятся
теория представлений неполупростых алгебр, а также конечных
групп над полем конечной характеристики. Но к ней же надо отнести
и ряд «целочисленных» вопросов, например теорию целочисленных
представлений конечных групп. По аналогичной причине сюда же
естественно отнести и теорию представлений колец алгебраических
чисел.
Уже очень давно Дмитрий Константинович обратил внимание на
эту громадную неисследованную область, которой принадлежит большое
будущее. В результате исследований, как его самого, так и его
многочисленных учеников, здесь теперь имеются существенные продвижения.
Они касаются в основном структуры соответствующих колец и строения
их представлений. На ряде примеров (представления конечных групп,
неполупростых алгебр) было обнаружено существование такого типа
задач, которые в некотором смысле ( точно определенном) имеют
«финитный» ответ, и проведено почти исчерпывающее исследование
таких задач (они называются «ручными»). Особенно яркие результаты
получены учениками Д.К.Фаддеева – Л.А.Назаровой и А.В. Ройтером.
Все достижения Дмитрия Константиновича и его учеников являются
первым серьезным прорывом в алгебру неполупростых объектов,
когда от хаоса, каким эта область до того представлялась, была
отвоевана большая её часть, управляемая красивыми закономерностями.
Удивительная способность Дмитрия Константиновича видеть простое
в сложном проявилась ещё в одной, может быть, не столь известной
работе о мультипликативной группе циклического p-расширения
локального поля. Он изучал ее относительно двух различных структур
– операторов из группы Галуа и символа Гильберта, и увидел прямую
связь с обычным линейным, только записанным мультипликативно,
пространством с оператором и скалярным произведением, и далее
применил аналог хорошо известной теории Жордановой формы. Как
и многие другие, эта работа стала началом целого цикла исследований
мультипликативных структур в локальных полях, а также симплектических
пространств с операторами, развитых его учениками, в первую
очередь З.И.Боревичем и А.В.Яковлевым. Последний применил разработанную
им теорию симплектических пространств к изучению топологической
структуры группы Галуа алгебраического замыкания локального
поля.
Несколько особняком в научном наследии Д.К. Фаддеева стоят
его работы в области вычислительной математики. Но и здесь в
полной мере проявилась способность Дмитрия Константиновича видеть
глубокие связи и едва намечающиеся тенденции. В основном эти
работы относятся к исследованию устойчивости численного решения
систем линейных алгебраических уравнений и оценке результатов
вычислений.
Надо отметить, что на рубеже 50-х годов в вычислительной математике
происходили поистине революционные изменения, связанные с быстрым
развитием электронно-вычислительной техники, и монография Д.К.
Фаддеева «Вычислительные методы линейной алгебры», написанная
совместно с женой – Верой Николаевной Фаддеевой, оказалась одной
из первых книг, отвечающих на целый ряд вопросов, возникших
в этой новой ситуации.
Глубина подхода к рассматриваемым задачам обеспечила этой книге
редкое для подобной литературы долгожительство, – монография
переведена на многие языки, до сих пор переиздается и является
настольной книгой новых поколений математиков-вычислителей.
За эту монографию была получена Государственная премия.
Подчеркивая свою любовь к вычислениям, Дмитрий Константинович
любил часто повторять «Я бухгалтер», выговаривая при этом каждую
букву.
Дмитрий Константинович обладал несомненным даром математического
предвидения. Вспоминаются его слова, когда до Ленинграда дошла
весть, что Великую Теорему Ферма переформулировали на языке
эллиптических кривых (Г. Фрей, 1985). Он предсказал, что теперь
очень скоро эта знаменитая твердыня падет, что и произошло в
недолгом времени (А.Вайлс и Р.Тейлор, 1994), правда уже, к сожалению,
после кончины Дмитрия Константиновича.
Нам неизвестно, насколько религиозным человеком был Дмитрий
Константинович, ( в то время это как-то не обсуждалось как сегодня,
и это на наш взгляд лучше нынешнего подчеркивания), но он несомненно
ставил Человека, его интеллект , выше всего. Об этом могут свидетельствовать
такие два эпизода. Первый раз он радовался превосходству человека
над машиной, когда П.С.Новиков в 1957 году в отрицательном смысле
решил проблему о тождестве слов в группах, т.е. выяснилось,
что невозможно различить элементы группы по разному записанные,
и человек. тем самым оказался незаменимым. Второй случай произошел
на защите докторской диссертации Ю.В. Матиясевича,
доказавшим отсутствие общего алгорифма для решения диофантовых
уравнений (10-ая проблема Гильберта). Возник философский спор
между С.И. Адяном, который считал отрицательный результат в
проблеме Гильберта большой философской неудачей, и Д.К.Фаддеевым,
который напротив ликовал по поводу превосходства человека над
машиной. ... (полностью)
|
