Весенний семестр 2009/2010 уч. г.

3 курс, 6 семестр, продолжительность 0.5 года

лектор -- проф. В.Г. ОСМОЛОВСКИЙ

Введение:

Цель курса -- познакомить слушателей с основными методами нелинейного функционального анализа, используемыми при исследовании нелинейных задач в различных областях математики, в частности, краевых задач математической физики. Поскольку курс предназначен для студентов 6-го семестра, в качестве иллюстраций использования абстрактных методов выбрана нелинейная задача Штурма-Лиувилля.

Программа спецкурса:

1. Пространство Соболева на отрезке.
2. Прямые методы вариационного исчисления.
3. Метод монотонных операторов.
4. Метод компактных операторов.
5. Теория Люстерника-Шнирельмана.
6. Теория бифуркаций.

 

4 курс, 7-8 семестры, продолжительность 1 год

лектор -- проф. А.И. Кароль

Программа спецкурса:

1.Введение
Примеры гильбертовых пространств. Ограниченные операторы и их билинейные и квадратичные формы. Неограниченные операторы. Расширение оператора. Замкнутые операторы и операторы, допускающие замыкание. Сопряженный, симметричный и самосопряженный операторы. Спектр оператора. Операторы ортогонального проектирования. Сохранение свойств замкнутости и самосопряженности при подчиненном возмущении операторов.

2. Спектр и поле регулярности замкнутого оператора
Приводящие подпространства. Регулярные точки и точки регулярного типа. Классификация точек спектра. Оператор умножения на независимую переменную. Примеры унитарно эквивалентных операторов. Расширение по Нейману симметричного оператора. Примеры операторов дифференцирования. Расширение по Фридрихсу полуограниченного оператора.

3. Спектральные теоремы
Спектральная мера и интеграл по спектральной мере. Спектральные теоремы для унитарного, самосопряженного и нормального операторов. Приложения к дифференциальным уравнениям в гильбертовом пространстве. Малые, компактные и конечномерные возмущения самосопряженного оператора, спектры возмущенных операторов.

4. Унитарные инварианты спектральной меры
Прямой интеграл гильбертовых пространств. Операторы умножения. Порождающие системы и спектральные типы. Полная система унитарных инвариантов спектральной меры. Унитарные инварианты самосопряженного оператора.

Литература
1. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Изд. ЛГУ, 1980.
2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М., 1966.

 

3 курс, 5 семестры, продолжительность 0.5 года

лектор -- проф. А.А. АРХИПОВА

1. Мера Бореля, регулярная мера, мера Радона.

2. Аппроксимация по мере Радона открытыми и компактными множествами произвольного множества в $R^N$.

3. Теоремы Лузина и Егорова.

4. Теоремы Витали и Безиковича о покрытиях.

5. Дифференцирование мер Радона. Теорема о существовании измеримой относительно меры $\mu$ производной $D_\mu\nu$.

6. Абсолютно непрерывные и сингулярные меры.

7. Вариант теоремы Радона-Никодима (т.1.6.2.)

8. Теорема Лебега о разложении меры (т.1.6.3.)

9. Теорема о пределе средних по мере и следствия из нее (т.1.7.1)

10. Аппроксимативная непрерывность.

11. Теорема Рисса о представлении функционалов с помощью мер Радона.
(т.1.8.1.)

12. Представление неотрицательных функционалов (с.43).

13. Слабая сходимость мер Радона (эквивалентные утверждения)

14. Слабая компактность мер Радона(т.1.9.2)

15. Мера Хаусдорфа, ее свойства

16. Мера Хаусдорфа функций, принимающих большие значения (т.2.4.3)

17. Липшицевы функции, их продолжение (т.3.1.1.)

18. Теорема Радемахера (т.3.1.2.)

ЛИТЕРАТУРА:

Л.К. Эванс, Р.Ф.Гариепи «Теория меры и тонкие свойства функций».
(Новосибирск, Научная книга, 2002)

 

Осенний семестр 2010/2011 уч. г. 

Программа спецкурса
1. Симметризация и ее свойства. Неравенство для норм (сжимающее отображение). Неравенство Рисса. Неравенство Крана-Фабера.
2. Неравенство Харди-Литлвуда-Соболева. Теоремы вложения.
3. Полулинейные уравнения и их решение вариационным методом. Теоремы о существовании минимума.
4. Метод Нехари.
5. Теорема о горном перевале и ее приложения.
6. Единственность решения - доказательство с помощью выпуклости.
7. Симметрия решения - доказательство с помощью симметризации.
8. Метод движущихся плоскостей.
9. Асимметричные решения. Множественность решений.
10. Тождество Похожаева. Несуществование решений.
11. Принцип Лионса (локально компактный случай). Минимизирующие функции в предельных теоремах вложения. Недостижимость минимума в ограниченных областях.
12. Уравнения с предельным ростом правой части. Принцип Лионса. Примеры достижимости минимума.
 
Литература: 
Е. Либ, М. Лосс. Анализ.
Л. Эванс. Уравнения с частными производными.

лектор -- проф. А.А. АРХИПОВА

Ввдение:

Излагается современный метод исследования регулярности обобщенных решений эллиптических уравнений второго порядка, не использующий результаты теории потенциала. Важной характеристикой этого метода является отказ от применения принципа максимума в какой бы то ни было форме, что делает возможным его распространение на эллиптические системы уравнений.
Предполагается, что теория обобщенной разрешимости классических краевых задач известна слушателям из основного курса математической физики. Увеличение гладкости решения задачи по мере улучшения  гладкости данных прослеживается  в пространствах Морри и Кампанато.  Отсюда, в частности, следует регулярность решения  и его производных в пространствах Гельдера.

Программа спецкурса:

1. Определения и свойства пространств Морри и Кампанато.
2. Постановка краевых задач, локальные энергетические оценки.
3. Фундаментальные оценки Кампанато. Основная алгебраическая лемма Кампанато.
4. Локальные оценки производных решений в пространствах Кампанато.
5. Постановка краевых задач в окрестности "распрямленной" части границы.
6. Существование вторых производных, $H^k$- оценки в окрестности границы.
7. Интегральные оценки Кампанато для модельных задач Дирихле и Неймана в окрестности границы.
8. Регулярность первых производных в окрестности границы для решений задач Дирихле и Неймана.
9. О гладкости решений в окрестности границы.
10. Глобальная регулярность краевых задач.
11. Некоторые обобщения.

Основная литература:

1. Архипова А.А. Регулярность решений краевых задач для линейных уравнений и систем эллиптического типа. \ Учебное пособие, изд-во СПбГУ, С.Петербург, 1998.
2. Troianiello G.M. Elliptic Differential Equations and Obstacle Problems. NY, 1987
3. Campanato S. Equazioni ellittiche del secondo ordine e spazi $ L^{2,\alpha}$.
\ Ann.Mat.Pure Appl., 69, n.4, (1965), 321-385.

 

3 курс, 5 семестр, продолжительность 0.5 года

руководитель -- проф. В.Г. ОСМОЛОВСКИЙ

На спецсеминаре будут изучаться основы теории потенциала и ее приложения к
вопросам матфизики и анализа. Предполагается обращать внимание также на
физическую мотивацию постановок задач и методов их исследования.

Программа спецсеминара:

1. Ньютонов потенциал.
2. Энергия ньютонова потенциала.
3. Вариационная задача в пространстве вероятностных мер.
4. Существование минимума функционала энергии в пространстве вероятностных мер.
5. Единственность равновесного распределения.
6. Емкость.
7. Свойства равновесного потенциала.
8. Особые точки и коническое условие.
9. Равновесный потенциал и функция Грина.
10.Равновесный потенциал и особенности ограниченных гармонических функций.


ЛИТЕРАТУРА
Дж. Уэрмер. Теория потенциала. М.,Мир,1980.

 

4 курс, 7-8 семестры, продолжительность 1 год

лектор -- проф. А.И. Кароль

Программа спецкурса:

1.Введение
Примеры гильбертовых пространств. Ограниченные операторы и их билинейные и квадратичные формы. Неограниченные операторы. Расширение оператора. Замкнутые операторы и операторы, допускающие замыкание. Сопряженный, симметричный и самосопряженный операторы. Спектр оператора. Операторы ортогонального проектирования. Сохранение свойств замкнутости и самосопряженности при подчиненном возмущении операторов.

2. Спектр и поле регулярности замкнутого оператора
Приводящие подпространства. Регулярные точки и точки регулярного типа. Классификация точек спектра. Оператор умножения на независимую переменную. Примеры унитарно эквивалентных операторов. Расширение по Нейману симметричного оператора. Примеры операторов дифференцирования. Расширение по Фридрихсу полуограниченного оператора.

3. Спектральные теоремы 
Спектральная мера и интеграл по спектральной мере. Спектральные теоремы для унитарного, самосопряженного и нормального операторов. Приложения к дифференциальным уравнениям в гильбертовом пространстве. Малые, компактные и конечномерные возмущения самосопряженного оператора, спектры возмущенных операторов.

4. Унитарные инварианты спектральной меры
Прямой интеграл гильбертовых пространств. Операторы умножения. Порождающие системы и спектральные типы. Полная система унитарных инвариантов спектральной меры. Унитарные инварианты самосопряженного оператора.

Литература
1. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Изд. ЛГУ, 1980.
2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М., 1966.