Весенний семестр 2008/2009 уч. г.
3 курс, 6 семестр, продолжительность 0.5 года
лектор -- проф. В.Г. ОСМОЛОВСКИЙ
Введение:
Цель курса -- познакомить слушателей с основными методами нелинейного функционального анализа, используемыми при исследовании нелинейных задач в различных областях математики, в частности, краевых задач математической физики. Поскольку курс предназначен для студентов 6-го семестра, в качестве иллюстраций использования абстрактных методов выбрана нелинейная задача Штурма-Лиувилля.
Программа спецкурса:
1. Пространство Соболева на отрезке.
2. Прямые методы вариационного исчисления.
3. Метод монотонных операторов.
4. Метод компактных операторов.
5. Теория Люстерника-Шнирельмана.
6. Теория бифуркаций.
4 курс, 7-8 семестры, продолжительность 1 год
лектор -- проф. А.И. Кароль
Программа спецкурса:
1.Введение
Примеры гильбертовых пространств. Ограниченные операторы и их билинейные и квадратичные формы. Неограниченные операторы. Расширение оператора. Замкнутые операторы и операторы, допускающие замыкание. Сопряженный, симметричный и самосопряженный операторы. Спектр оператора. Операторы ортогонального проектирования. Сохранение свойств замкнутости и самосопряженности при подчиненном возмущении операторов.2. Спектр и поле регулярности замкнутого оператора
Приводящие подпространства. Регулярные точки и точки регулярного типа. Классификация точек спектра. Оператор умножения на независимую переменную. Примеры унитарно эквивалентных операторов. Расширение по Нейману симметричного оператора. Примеры операторов дифференцирования. Расширение по Фридрихсу полуограниченного оператора.3. Спектральные теоремы
Спектральная мера и интеграл по спектральной мере. Спектральные теоремы для унитарного, самосопряженного и нормального операторов. Приложения к дифференциальным уравнениям в гильбертовом пространстве. Малые, компактные и конечномерные возмущения самосопряженного оператора, спектры возмущенных операторов.4. Унитарные инварианты спектральной меры
Прямой интеграл гильбертовых пространств. Операторы умножения. Порождающие системы и спектральные типы. Полная система унитарных инвариантов спектральной меры. Унитарные инварианты самосопряженного оператора.Литература
1. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Изд. ЛГУ, 1980.
2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М., 1966.
3 курс, 6 семестр, продолжительность 0.5 года
лектор -- проф. Н.Н. Уральцева
3 курс, 6 семестр, продолжительность 0.5 года
лектор -- проф. А.А. Архипова
Осенний семестр 2008/2009 уч. г.
3 курс, 5 семестр, продолжительность 0.5 года
руководитель -- проф. В.Г. ОСМОЛОВСКИЙ
На спецсеминаре будут изучаться основы теории потенциала и ее приложения к
вопросам матфизики и анализа. Предполагается обращать внимание также на
физическую мотивацию постановок задач и методов их исследования.
Программа спецсеминара:
1. Ньютонов потенциал.
2. Энергия ньютонова потенциала.
3. Вариационная задача в пространстве вероятностных мер.
4. Существование минимума функционала энергии в пространстве вероятностных мер.
5. Единственность равновесного распределения.
6. Емкость.
7. Свойства равновесного потенциала.
8. Особые точки и коническое условие.
9. Равновесный потенциал и функция Грина.
10.Равновесный потенциал и особенности ограниченных гармонических функций.
ЛИТЕРАТУРА
Дж. Уэрмер. Теория потенциала. М.,Мир,1980.
4 курс, 7 семестр, продолжительность 0.5 года
лектор -- проф. А.И. Кароль
4 курс, 7-8 семестры, продолжительность 1 год
лектор -- проф. А.И. Кароль
Программа спецкурса:
1.Введение
Примеры гильбертовых пространств. Ограниченные операторы и их билинейные и квадратичные формы. Неограниченные операторы. Расширение оператора. Замкнутые операторы и операторы, допускающие замыкание. Сопряженный, симметричный и самосопряженный операторы. Спектр оператора. Операторы ортогонального проектирования. Сохранение свойств замкнутости и самосопряженности при подчиненном возмущении операторов.2. Спектр и поле регулярности замкнутого оператора
Приводящие подпространства. Регулярные точки и точки регулярного типа. Классификация точек спектра. Оператор умножения на независимую переменную. Примеры унитарно эквивалентных операторов. Расширение по Нейману симметричного оператора. Примеры операторов дифференцирования. Расширение по Фридрихсу полуограниченного оператора.3. Спектральные теоремы
Спектральная мера и интеграл по спектральной мере. Спектральные теоремы для унитарного, самосопряженного и нормального операторов. Приложения к дифференциальным уравнениям в гильбертовом пространстве. Малые, компактные и конечномерные возмущения самосопряженного оператора, спектры возмущенных операторов.4. Унитарные инварианты спектральной меры
Прямой интеграл гильбертовых пространств. Операторы умножения. Порождающие системы и спектральные типы. Полная система унитарных инвариантов спектральной меры. Унитарные инварианты самосопряженного оператора.Литература
1. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Изд. ЛГУ, 1980.
2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М., 1966.
4 курс, 7 семестр, продолжительность 0.5 года
лектор -- проф. А.А. АРХИПОВА
Программа спецсеминара :
1. Доказательство частичной регулярности методом от противного.
Описание сингулярного множества. Оценка хаусдорфовой размерности точек, не имеющих предела средних значений для функций из пространства Соболева $ W^1_p, p<n $. Оценка хаусдорфовой меры некоторых множеств, определяемых функцией из пространства $L_1$. (Базовый результат для оценки сингулярных множеств в нелинейной системе). Оценка сингулярного множества простейшей квазилинейной системы (Гл.4, [1]).
2. Прямой метод доказательства частичной регулярности обобщенных решений.
Теорема об обратных неравенствах Гельдера.(Обобщение известной леммы Геринга). Теорема о повышении степени интегрируемости градиента обобщенного решения, основанная на выводе обратных неравенств Гельдера для градиента решения.
Вывод обратных неравенств Гельдера для минимайзеров из пространства
$ W^1_m, m>1$ широкого класса функционалов. $C^{0,\alpha}$-локальная регулярность обобщенного решения квазилинейной системы (Гл.5, [1]).3. Метод А-гармонической аппроксимации доказательства частичной гладкости решений (статья [2]) .
Основная литература:
1.Giaquinta M., Mulpiple Integrals in the Calculus of Variations and Nonlinear Elliptic Systems.
Annals of Math. Studies, 105, Princeton Univ. Press, Princeton, 1983.2. Duzaar F., Grotowski J. “Optimal interior partial regularity for nonlinear elliptic systems: the method of A-harmonic approximation”.// Manuscripta Math. 103, 267-398 (2000)
4 курс, 7 семестр, продолжительность 0.5 года
лектор -- проф. А.И. НАЗАРОВ
Программа спецкурса1. Симметризация и ее свойства. Неравенство для норм (сжимающее отображение). Неравенство Рисса. Неравенство Крана-Фабера.2. Неравенство Харди-Литлвуда-Соболева. Теоремы вложения.3. Полулинейные уравнения и их решение вариационным методом. Теоремы о существовании минимума.4. Метод Нехари.5. Теорема о горном перевале и ее приложения.6. Единственность решения - доказательство с помощью выпуклости.7. Симметрия решения - доказательство с помощью симметризации.8. Метод движущихся плоскостей.9. Асимметричные решения. Множественность решений.10. Тождество Похожаева. Несуществование решений.11. Принцип Лионса (локально компактный случай). Минимизирующие функции в предельных теоремах вложения. Недостижимость минимума в ограниченных областях.12. Уравнения с предельным ростом правой части. Принцип Лионса. Примеры достижимости минимума.Литература:Е. Либ, М. Лосс. Анализ.Л. Эванс. Уравнения с частными производными.