Осенний семестр 2007/2008 уч. г.
3 курс, 5 семестр, продолжительность 0.5 года
руководитель -- проф. В.Г. ОСМОЛОВСКИЙ
На спецсеминаре будут изучаться основы теории потенциала и ее приложения к
вопросам матфизики и анализа. Предполагается обращать внимание также на
физическую мотивацию постановок задач и методов их исследования.Программа спецсеминара:
1. Ньютонов потенциал.
2. Энергия ньютонова потенциала.
3. Вариационная задача в пространстве вероятностных мер.
4. Существование минимума функционала энергии в пространстве вероятностных мер.
5. Единственность равновесного распределения.
6. Емкость.
7. Свойства равновесного потенциала.
8. Особые точки и коническое условие.
9. Равновесный потенциал и функция Грина.
10.Равновесный потенциал и особенности ограниченных гармонических функций.
ЛИТЕРАТУРА
Дж. Уэрмер. Теория потенциала. М.,Мир,1980.
4 курс, 7-8 семестры, продолжительность 1 год
лектор -- проф. В.И. ДЕРГУЗОВ
Программа спецкурса:
1.Введение
Примеры гильбертовых пространств. Ограниченные операторы и их билинейные и квадратичные формы. Неограниченные операторы. Расширение оператора. Замкнутые операторы и операторы, допускающие замыкание. Сопряженный, симметричный и самосопряженный операторы. Спектр оператора. Операторы ортогонального проектирования. Сохранение свойств замкнутости и самосопряженности при подчиненном возмущении операторов.2. Спектр и поле регулярности замкнутого оператора
Приводящие подпространства. Регулярные точки и точки регулярного типа. Классификация точек спектра. Оператор умножения на независимую переменную. Примеры унитарно эквивалентных операторов. Расширение по Нейману симметричного оператора. Примеры операторов дифференцирования. Расширение по Фридрихсу полуограниченного оператора.3. Спектральные теоремы
Спектральная мера и интеграл по спектральной мере. Спектральные теоремы для унитарного, самосопряженного и нормального операторов. Приложения к дифференциальным уравнениям в гильбертовом пространстве. Малые, компактные и конечномерные возмущения самосопряженного оператора, спектры возмущенных операторов.4. Унитарные инварианты спектральной меры
Прямой интеграл гильбертовых пространств. Операторы умножения. Порождающие системы и спектральные типы. Полная система унитарных инвариантов спектральной меры. Унитарные инварианты самосопряженного оператора.Литература
1. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Изд. ЛГУ, 1980.
2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М., 1966.
3 курс, 6 семестр, продолжительность 0.5 года
руководитель -- проф. В.И. Дергузов
1.Операторы в конечномерном пространстве.
Матричное представление операторов. Алгебра линейных операторов. Проекторы, нильпотентные операторы. Сходимость операторов, операторные ряды. Задачи на собственные значения. Трасформирующие функции. Резольвента, особые точки
резольвенты. Каноническая форма оператора. Унитарные, изометрические и нормальные операторы. Проекторы, пары проекторов. Задачи на собственные значения. Аналитическое возмущение собственных значений. Ряды теории возмущений.
2.Операторы в гильбертовом пространстве.
Аналитические семейства операторов. Разложение спектра и конечные системы собственных значений. Ряды теории возмущений изолированного собственного значения. Аналитические семейства самосопряженных и нормальных операторов.
Литература
1.Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., МИР, 1972.
2.Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в
баноховом пространстве. М., НАУКА, 1970.
3.Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М., МИР, 1979.
4 курс, 7 семестр, продолжительность 0.5 года
руководитель -- доц. А.И. КАРОЛЬ
Спецсеминар имеет целью познакомить студентов с асимптотическими методами в (обыкновенных) дифференциальных уравнениях. Изучаемые методы используются в различных областях анализа, при решении задач
математической физики, в теории случайных процессов, где требуется изучение асимптотических свойств собственных чисел Штурм-Лиувиллевских операторов. Обсуждаются также вариационные свойства собственных чисел, вариационные методы получения их асимптотических разложений.Программа спецсеминара:
1. Асимптотические разложения.
2. Асимптотики решения уравнения второго порядка - метод ВКБ
3. Асимптотические разложения решения краевой задачи.
4. Асимптотики собственных чисел и собственных функций простейшего
оператора.
5. Теорема Штурма о нулях решений.
6. Функция Грина и спектральные характеристики оператора.
7. Дифференциальный оператор высокого порядка, собственные числа и
собственные функции.
8. Функция Грина оператора высокого порядка.
9. Асимптотические разложения собственных чисел и собственных функций для
оператора высокого порядка
10. Вариационные свойства собственных чисел, лемма Глазмана.
11. Следствия из вариационных свойств.
12. Асимптотические свойства собственных чисел многомерных задач.Литература
1. Б.Р.Вайнберг. Асимптотические методы в уравнениях математической
физики. М.: изд-во МГУ, 1982г. 296с.
2. М.А.Наймарк. Линейные дифференциальные операторы. М.: "Наука", 1969г.,
528с.
5 курс, 9 семестр, продолжительность 0.5 года
лектор -- проф. Н.Н. УРАЛЬЦЕВА
5 курс, 9 семестр, продолжительность 0.5 года
лектор -- доц. А.И. КАРОЛЬ
В предлагаемом спецкурсе студенты знакомятся с современной теорией линейных дифференциальных уравнений. Техника псевдодифференциальных операторов (ПДО) позволяет дать общий подход к изучению свойств линейных
дифференциальных операторов, построить асимптотические разложения решений, дать качественный анализ решений. В программе спецкурса можно выделить две части - изучение собственно техники ПДО и, затем, приложения освоенной техники. В число таких приложений входит теория эллиптических (псевдо)дифференциальных операторов на замкнутом многообразии, теория гиперболических уравнений и систем, распространение особенностей решений дифференциальных уравнений и локальная разрешимость дифференциальных уравнений.Программа спецкурса:
1. Осциллирующие интегралы, регуляризация, определение ПДО, его
псевдолокальность.
2. Асимптотические разложения.
3. Символ собственного ПДО.
4. Теорема об асимптотическом разложении символа.
5. Исчисление ПДО - теоремы о сопряжённом операторе, о композиции.
6. Ограниченность оператора в пространствах Соболева и в $L_2$.
7. Замена переменных, операторы на многообразии.
8. Параметрикс эллиптического оператора, фредгольмовость
эллиптического оператора на замкнутом многообразии.
9. Гипоэллиптические операторы.
10. Волновой фронт обобщённой функции.
11. Гиперболические уравнения и системы - симметричные и строго
гиперболические системы.
12. Теорема Егорова.
13. Теорема о распространении особенностей.
14. Локальная разрешимость.Литература
1. М.А.Шубин. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория.
"Наука", М., 1978, 280с.
2. М.Тейлор. Псевдодифференциальные операторы. "Мир", М., 1985, 472с.
3. Л.Хермандер. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными
производными, т.3. "Мир", М., 1987, 696с.
5 курс, 9 семестр, продолжительность 0.5 года
лектор -- проф. А.И. НАЗАРОВ
Программа спецкурса:
1. Общая идея доказательства разрешимости квазилинейных задач. Оценки Шаудера
для линейных задач. Принцип Лерэ - Шаудера и роль априорных оценок.2. Принцип максимума Хопфа.
3. Принцип максимума Александрова: оценка объема нормального изображения и
применение к задаче Дирихле.4. Оценки в классах Гельдера: итерационная лемма, лемма о тощем множестве,
лемма о покрытиях, внутренние оценки, приграничные оценки при условии Дирихле.
Разрешимость задачи Дирихле для слабо нелинейных уравнений.5. Оценка градиента на границе - простейший случай. Внутренние оценки
градиента. Приграничные оценки при условии Дирихле.6. Гельдеровские оценки градиента: итерационная лемма для вектор-функций,
внутренние оценки, приграничные оценки при условии Дирихле. Разрешимость
задачи Дирихле.7. Задача с косой производной. Локальная оценка максимума Александрова.
Приграничные оценки в классах Гельдера. Приграничные оценки градиента.8. Задача Вентцеля. Оценка Шаудера для линейной задачи. Локальная оценка
максимума Александрова. Приграничные оценки градиента.ЛИТЕРАТУРА
Д. Гилбарг, Н.С. Трудингер. Эллиптические дифференциальные уравнения с
частными производными второго порядка // М., Наука, 1989.
5 курс, 9 семестр, продолжительность 0.5 года
руководитель -- доц. А.С. МИХАЙЛОВ
Программа спецсеминара:
1. Вывод классических уравнений гидродинамики.
2. Разложение Вейля-Ладыженской пространства L_2.
3. Теорема существования слабых решений Лерэ-Хопфа для системы Навье-Стокса.
4. Теоремы единственности.
5. Теоремы существования сильных решений.
ЛИТЕРАТУРА
О.А. Ладыженская. Математические вопросы вязкой несжимаемой жидкости.// Наука, Москва, 1970
Дж. Серрин. Математические основы классической механики жидкости.// Иностранная литература, Москва, 1963