Функциональный Анализ (2-я часть). Вечернее отделение. Экзамен.

Осень 2006: 14 линия В.О., дом 29, аудитория 18;

18.30–21.30; с 08 ноября по средам.

Консультация планируется на 22.01.07 (18.30).

Экзамен планируется на 23.01.07 (18.30).

Полезная литература.

Л.В. Канторович и Г.П. Акилов, Функциональный анализ, М., Наука, 1977 (2-е изд.).

А.Н. Колмогоров и С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, М., Наука, 1981 (5-е изд.).

М. Рид и Б. Саймон, Методы современной математической физики, Т. 1, Функциональный анализ, М., Мир, 1977.

А.А. Кириллов и А.Д. Гвишиани, Теоремы и задачи функционального анализа, М., Наука, 1988 (2-е изд.).

Вопросы к экзамену

Предыдущие занятия (весна 2006)

Темы состоявшихся занятий.

3. Банаховы пространства (окончание).

01.09: Операции с банаховыми пространствами: сумма и фактор. Предложение о внутренних точках. Теорема Бэра о категории. Принцип равномерной ограниченности (теорема Банаха–Штейнгауза). Теорема об открытом отображении (формулировка); следствие об обратном отображении. Теорема об эквивалентных нормах.

08.11: Теорема о замкнутом графике. Теорема Хеллингера-Тёплица. Общая форма линейного функционала на Lp (формулировка).

4. Ограниченные операторы

08.11: H-сопряженный оператор. Сопряжение является инволюцией; обратный к сопряженному. Ядро сопряженного оператора. Примеры сопряженных операторов (на H).

Спектр ограниченного оператора

15.11: Сопряженный оператор в случае банаховых пространств; примеры. Свойства сопряжения, включая норму сопряженного оператора. Теорема об обратимости оператора, близкого к I; следствия. Теорема об обратимости оператора, близкого к обратимому. Определение резольвенты и спектра. Простейшие свойства резольвентного множества и спектра. Тождество Гильберта для резольвенты.

22.11: Теорема об ограниченном снизу операторе. Различные типы спектров; спектр левого сдвига. Спектр правого сдвига. Теорема о дифференцируемости резольвенты. Векторнозначные (2 определения) и операторнозначные (3 определения) аналитические (голоморфные) отображения. Теорема о непустоте спектра. Теорема Гельфанда о спектральном радиусе (формулировка); лемма о выпуклых последовательностях.

29.11: Примеры операторов с нулевым спектральным радиусом. Теорема о спектре H-сопряженного оператора. Самосопряженные (симметричные) операторы на H: свойства и описание с помощью квадратичной формы. Собственные числа и собственные вектора симметричного оператора. Неотрицательные и положительные операторы; лемма об оценке квадратичной формы. Основная теорема о расположении спектра самосопряженного оператора. Примеры спектров самосопряженных операторов.

06.12: Описание унитарных операторов. Теорема о спектре унитарного оператора. Спектр поворота.

Компактные операторы

06.12: Слабая и слабая* сходимости, примеры; следствия из теоремы Банаха-Штейнгауза. Компактные подмножества банахова пространства (примеры, включая интерпретацию теоремы Арцела–Асколи и формулировку теоремы Банаха–Алаоглу). Компактные операторы: определение, примеры (конечного ранга и интегральные). Свойства компактных операторов: линейные операции, равномерный предел, композиция; сопряжённый (формулировка теоремы Шаудера).

13.12: Компактные операторы: образы слабо сходящихся последовательностей. Лемма об относительных компактах в H. Теорема о компактных операторах на H (3 равносильных свойства). Аналитическая альтернатива Фредгольма (формулировка);  классическая альтернатива Фредгольма. Теорема Рисса–Шаудера. Теорема Гильберта–Шмидта. Каноническая форма компактного оператора на H. Операторы Гильберта–Шмидта: компактность и три общих свойства.

20.12: Интегральные операторы Гильберта–Шмидта.